我今天讲的题目叫做 “思考与创新漫谈”。
思考是要用语言的，所以思考就是自己和自己在说话，思考时语义必须清楚。如果你语言里面的语意不清楚，这个思考就得不到正确的结论，就会没有感觉、比较糊涂。
这里面的道理虽然很清楚，但能做到语义清楚是很不容易的。我举个例子：什么叫做 “唯一”？1982 年，我给中国科大数学系三年级学生讲微分方程解的唯一性定理时，遇到一个很平凡的问题，全班同学都回答不出来。这可能让人难以置信，因为科大数学系的学生水平并不差。
我问大家：“微分方程在某一定条件下取个初值，它的解是唯一的，这里的‘唯一’是什么意思？” 因为问题太简单，反而没人能回答。大家说：“唯一就是只有一个。”“什么叫只有一个？”“只有一个就是唯一。”
这让我发现，学习数学时，人们有时往往忽略普通的概念，以为没问题，实际上却存在问题。全班 50 多个同学都说不出 “唯一” 的准确定义。我说：“你要说‘唯一就是一个，一个就是唯一’，这等于没说。你必须把它划归为更基本的判断 —— 所谓‘唯一’，就是如果有两个解，它们必须相等。”“唯一” 和 “相等” 的概念是相连的，如果你不能判断两个东西是否相等，也就不能判断是否 “唯一”。
这时有人感叹：“这么简单的东西，我们怎么都想不到呢？” 这就是数学 —— 数学是追根究底的。你说 “唯一就是一个，一个就是唯一”，这样的定义无法往下推理、无法证明。要证明解是唯一的，就要假定两个解都满足方程，然后证明这两个解相等，这就是整个定理的证明过程，接下来才是如何证明它们相等的具体步骤。
这说明思考要用语言，语言要准确，这并非易事。再比如 “先有鸡还是先有蛋” 的问题。
70 年代我在新疆教中学时，看到几个同学争论：有的说先有鸡，理由是 “没有鸡蛋哪来的鸡”；有的说先有蛋，理由是 “鸡是蛋里孵出来的”。他们看到我，就问：“张老师，你说先有鸡还是先有蛋？” 我说：“你们先搞清楚鸡和蛋的概念。你们相信有最早的鸡吗？” 他们说：“相信，因为生物进化的过程是从无到有，从没有动物到慢慢进化出动物，再出现鸡。”
那么讨论 “先有鸡还是先有蛋”，首先要明确 “鸡” 和 “蛋” 的概念：这里的 “蛋” 指的是鸡蛋，而非其他蛋（如乌龟蛋）。什么是 “鸡蛋”？如果定义 “鸡蛋是鸡生的蛋”，那么必须先有鸡；如果定义 “鸡蛋是能孵出鸡的蛋”，那么先有蛋。所以关键在于 “鸡蛋” 的概念定义。科学家因对 “鸡蛋” 的定义不同，得出了不同的结论：2008 年加拿大科学家认为先有蛋，2010 年英国科学家认为先有鸡，2019 年中国科学家也认为先有蛋。这些不同答案的本质是对 “鸡蛋” 定义的不同，从数学角度看，这是一个定义和概念的问题。
再举一个例子：古希腊哲学家芝诺提出的 “飞矢不动” 怪论。他认为，箭在飞行过程中的任何瞬间都有一个暂时的确定位置，因此在这个位置上 “动” 和 “不动” 没有区别，所以飞速的箭本质上是不动的。中国古代名家也曾提出 “飞鸟之景，未尝动也”（飞鸟的影子没有动），类似的观点都让人困惑：箭在一瞬间到底动没动？
破解这个问题的关键在于定义 “动” 和 “不动”。“动” 的概念涉及两个时刻：如果在两个时刻之间，物体从一个位置移动到另一个不同的位置，就称为 “动”；如果两个时刻物体位置相同，就称为 “不动”。“动” 或 “不动” 的概念必须涉及一段时间（至少两个时刻），单独说某一时刻 “动” 或 “不动” 是没有意义的。这样一来，“飞矢不动” 的怪论就被否定了。
芝诺还有一个著名怪论 “阿基里斯追不上乌龟”：阿基里斯是古希腊神话中跑得很快的人，但芝诺认为，当他追赶乌龟时，每次到达乌龟当前的位置，乌龟都已向前移动了一段距离，因此永远追不上。驳斥这个怪论的关键在于定义 “追上”：“追上” 是指存在某一时刻，阿基里斯在乌龟前方或与之并驾齐驱。芝诺仅论证了无穷多个时刻阿基里斯在乌龟后方，却未证明不存在 “追上” 的时刻，本质上是改变了命题。
如果对这些怪论追根究底，追问基本定义，问题就容易解决。很多书上把问题复杂化，涉及极限、运动等概念，实则不必。
中国战国时期公孙龙提出的 “白马非马” 论也是如此。公孙龙认为：“求马，黄黑马皆可致；求白马，黄黑马不可致，故白马非马。” 如何理解这个概念？“是” 在日常语言中有三种含义：等于、属于、包含于。“白马非马” 中的 “非” 如果指 “不等于”，则正确（白马集合不等于马集合）；如果指 “不包含于”，则错误（白马集合包含于马集合）。该怪论源于日常语言中 “是” 的含义模糊，导致概念混淆。
战国时期有人说，公孙龙的 “白马非马” 让很多知识分子无法反驳，但如果他骑着白马过关，收税的人不会听他的诡辩，只会按 “马” 收税。这说明怪论在具体实践中站不住脚，但分析其本质，仍需理清概念定义。
以上举的例子都是怪论，尚未涉及真正的科学问题。历史上，伽利略曾困惑：“自然数多还是自然数的平方数多？” 自然数是 1、2、3、4、5……，平方数是 1、4、9、16、25……，直观上平方数只是自然数的一小部分，但每个自然数都能对应一个平方数（n→n²），似乎数量相等。伽利略始终无法解决这个困惑，古代学者也认为无穷量不可比较，这成为哲学、科学和数学上的难题。
德国数学家康托尔提出，要比较无穷集合的元素数量，需先定义 “一样多”：两个集合的元素如果能够一一对应，就是 “一样多”。根据这一定义，自然数和平方数能一一对应，因此 “一样多”。康托尔揭示了无穷集合的特点：无穷集合可以和它的一部分一一对应。他还证明了自然数和有理数一样多、线段上的点与直线 / 平面 / 全空间的点一样多等惊人结论。
例如，有理数可以按分子分母之和从小到大排列（如和为 2 的 1/1，和为 3 的 1/2、2/1，和为 4 的 1/3、2/2、3/1……），从而与自然数一一对应；线段上的点可以通过几何方法（如半圆投影）与直线上的点一一对应；平面上的点坐标（x,y）可以将 x 和 y 的小数位交叉排列成一个数，从而与直线上的点一一对应。
康托尔还证明：任何集合的子集数量多于其元素数量（即 “康托尔定理”）。他用反证法证明：假设集合 A 的元素与它的子集能一一对应，将 A 的元素分为两类 ——“好元素”（元素属于对应的子集）和 “坏元素”（元素不属于对应的子集），所有 “坏元素” 组成的子集 S，无法与 A 的任何元素一一对应，产生矛盾，因此假设不成立。这一证明揭示了无穷集合的层次差异，例如实数比自然数多（实数与自然数的子集一一对应，而子集数量多于自然数）。
接下来，我分享一下自己的研究经历。我在研究几何题时发现了 “共边定理”：有公共边 AB 的两个三角形 PAB 和 QAB，若直线 PQ 与 AB 交于 M，则 PM/QM 等于 PAB 与 QAB 的面积比。这个定理看似简单，却能解决复杂问题。
例如，证明美国数学家克朗和罗宾著作中的几何命题时，用共边定理只需一行证明；证明塞瓦定理（三角形内任取一点，三边被分成的线段比例之积为 1）和梅涅劳斯定理（三角形三边或其延长线被一条直线截断，线段比例之积为 1）时，通过面积比与线段比的转换，也能简化证明过程。我曾用小学知识、添加辅助线等多种方法逐步简化证明，最终发现其本质是通过面积比消去交点，这一思路后来发展为 “面积消点法”。
在与周咸青教授合作研究机器证明几何定理时，我意识到计算机证明需要算法支持。受 “共边定理” 启发，我提出 “面积消点法”：将几何题中的作图点按顺序消去，通过面积比公式将线段比转化为已知点的面积比，从而实现计算机自动证明。例如，证明 “平行四边形对角线互相平分” 时，利用共边定理将线段比转化为面积比，结合平行条件消去辅助点，无需复杂计算即可得证；证明 “帕普斯定理”（三点共线）时，通过消点法 20 分钟内即可写出简单证明，而传统方法需借助极限或复杂推导。
“面积消点法” 被国际同行认为是计算机处理几何问题的里程碑，相关成果被写入教材。我们的研究团队还出版了《减肥微积分》等著作，尝试用更直观的方式讲解高等数学概念，例如用 “平均速度介于最大速度和最小速度之间” 理解瞬时速度，避免传统极限定义的复杂性，让文科学生也能更轻松地理解微积分。
在问答环节，有观众提问：“如何在刷题压力下保持数学兴趣？” 我的建议是：不提倡大量刷题，应注重 “做透” 个别题目，用多种方法解题，培养探究精神。例如，用十种方法解一道题，比用一种方法解十道题收获更大。
关于 “天赋与努力哪个更重要”，我认为：极少数数学家（如伽罗瓦）依赖天赋，但绝大多数数学家靠长期坚持思考。数学学习中，坚持比天赋更重要。高斯曾说：“任何一个正常人像我这样不断思考，都能取得和我一样的成果。” 只要在感兴趣的方向持续努力，普通人也能在数学上有所成就。
对于 “孩子是否该学奥数”，我的观点是：取决于兴趣。若孩子喜欢，可鼓励；若不喜欢，不必勉强。小学低年级可侧重语文学习（如背诵诗歌、文章），随着年龄增长再加强数学，二者不可偏废。
有文科学生提到大学数学学习困难，尤其是证明题。我的建议是：参考科普书籍（如《减肥微积分》），从简单直观的角度理解概念，逐步过渡到形式化证明。例如，理解 “切线” 时，可定义为 “在某点附近离曲线最近的直线”，而非直接引入 “割线极限” 的概念，降低入门难度。
（根据2023-9-23广东科学中心讲座整理）